Dans le sens le plus courant, l'anse de panier est une courbe formée de trois arcs de cercles se raccordant avec la même tangente. La construction à partir d’un triangle équilatéral est visible sur le dessin ci-dessous.
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Cette forme de courbe a été utilisée dans des contextes variés : profil de voûtes " surbaissée " en architecture, arches de ponts, etc.
Si on généralise la définition en appelant " anse de panier " toute courbe formée d’arcs de cercles (en nombre fini) se raccordant avec les mêmes tangentes (dérivables), on s’ouvre un thème particulièrement riche.
Cela débute par des anses de panier symétriques comportant 5, 7 arcs de cercles et permet d’en arriver aux anses de paniers fermées.
Une anse de panier fermée est une courbe fermée formée d’arc de cercles se raccordant avec la même tangente.
Un résultat spectaculaire est l’existence pour certains polygones d’une anse de panier circonscrite.
Plus précisément : tout polygone convexe ayant un nombre impair de sommets admet une unique anse de panier circonscrite.
Dans le cas du triangle l’anse de panier circonscrite est le cercle circonscrit.
Soit, par exemple, un pentagone convexe ABCDE. En choisissant un centre O1 quelconque sur la médiatrice m1 de [AB], on peut tracer un arc AB. Si on appelle O2 l’intersection de O1B avec la médiatrice m2 de [BC], il est possible de raccorder avec la même tangente en B un arc BC à l’arc AB. En poursuivant ainsi on parvient à construire une suite d’arcs de cercles qui entourent le pentagone de départ.
Sauf miracle très improbable le premier de ces arcs (AB) et le dernier (EA) ne se raccorderont pas avec la même tangente et O5A et O1A formeront un angle non nul.
Soit O0 l’intersection de la bissectrice de O1AO5 avec la médiatrice m1. En choisissant O1 en O0 on obtiendra une anse de panier circonscrite au pentagone
La justification repose sur les propriétés de la symétrie axiale qui inverse le sens des angles.
Par rapport à la situation de départ dans laquelle la tangente initiale et la tangente finale en A font un angle a , placer le premier centre en O0 revient à tourner la tangente initiale en A de a /2.
Il en résulte que :
la tangente en B tourne de -a /2 (symétrie d’axe m1)
la tangente en C tourne de a /2, (symétrie d’axe m2)
la tangente en D tourne de -a /2 (symétrie d’axe m3)
la tangente en E tourne de a /2 (symétrie d’axe m4)
la tangente finale en A tourne de -a /2 (symétrie d’axe m5).
L’écart angulaire entre les deux tangentes en A sera nul.
Cliquez ici pour voir la figure ci-dessus
dans une version interactive sous forme d'une applet CabriJava
(patience, le chargement est assez long)
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